Квадратные уравнения.Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида где x - переменная, a, b, c - некоторые действительные числа, причем a не равно 0. Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом и c - свободным членом.

Дискриминантом квадратного уравнения называется действительное число .

Теорема 1: Если дискриминант D квадратного уравнения , положительный, то оно имеет два различных действительных корня:

Теорема 2: Если дискриминант D квадратного уравнения равен нулю, то оно имеет два равных корня:

Теорема 3: Если дискриминант D квадратного уравнения отрицателен, то не имеет корней.

Чтобы решить квадратное уравнение, достаточно:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулами (*) и (**) ,соответственно, для вычисления корней
3) если дискриминант отрицательный, то записать, что корней нет.

Примечание:

Если в уравнении дискриминант неотрицателен и второй коэффициент b - число вида 2к, где , , то формула корней принимает более удобный для вычисления вид:

.

Квадратное уравнение с коэффициентом при х2, равным 1, называется приведенным.В общем виде приведенное квадратное уравнение обычно записывают в виде где p и q–некоторые действительные числа.

Теорема Виета: Если квадратное уравнение имеет действительные корни x1и x2, то их сумма равна , а произведение равно .

Теорема (обратная теореме Виета): Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна ,а произведение , то эти числа являются корнями уравнения .